Konstanta dan Variabel Proposisi

Variabel proposisi

Proposisi dapat dituliskan dengan simbol-simbol seperti A,B,C,

…, yang hanya memiliki nilai benar (True) atau salah (False)

Contoh :

A = harga gula naik
B = pabrik gula senang C = petani tebu senang

1. Jika A maka B
2. Jika B maka C
3. Jika A maka C

Konstanta proposisi : T atau F
Variabel dan konstanta proposisi adalah proposisi atomik. 

Variabel dan konstanta proposisi adalah proposisi atomik. 

Proposisi Atomik

Proposisi yang berisi satu variabel proposisi atau satu konstanta proposisi

Contoh :
Andi kaya raya (A) Antin hidup bahagia (B)

Proposisi Majemuk

Semua proposisi bukan atomik yang memiliki minimal satu perangkai logika
Contoh :

Andi kaya raya dan Antin hidup bahagia (A dan B)

Operator / Logical Connectives

• Sebuah operator atau penghubung menggabungkan satu atau lebih ekspresi operand ke dalam ekspresi yang lebih besar. (seperti tanda “+” di ekspresi numerik.) 
• Operator Uner bekerja pada satu operand (contoh −3); Operator biner bekerja pada 2 operand (contoh 3 ´ 4).
• Operator Proposisi atau Boolean bekerja pada proposisi-proposisi atau nilai kebenaran, bukan pada suatu angka

Operator / Boolean Umum

Tabel Operator / Boolean Umum

Operator Negasi

Operator negasi uner “¬” (NOT) mengubah suatu proposisi menjadi proposisi lain yang bertolak belakang nilai kebenarannya

Contoh: 

Jika p = Hari ini hujan
maka ¬p = Tidak benar hari ini hujan

Tabel Kebenaran NOT

T = True; F = False
Diartikan “didefinisikan sebagai”

Operator Konjungsi

Operator konjungsi biner ʌ menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika konjungsinya.

Contoh:

p= Galih naik sepeda

q= Ratna naik sepeda

p ʌ q = Galih dan Ratna naik sepeda

Tabel Kebenaran AND

Operator Disjungsi

Operator biner disjungsi v menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika disjungsinya 

Contoh:
p=“Mesin mobil saya rusak”
q=“Karburator mobil saya rusak”

p v q=“Mesin atau karburator mobil saya rusak.”

Tabel Kebenaran OR

Catatan :

Proporsi Bertingkat

Gunakan tanda kurung untuk mengelompokkan sub-ekspresi:

“Saya baru saja bertemu teman lama, dan anaknya sudah dua atau tiga.” = f and (g v s)

• (f and g) or s : artinya akan berbeda
• f and g or s : artinya akan ambigu

Menurut perjanjian, “¬” presedensinya lebih tinggi dari and dan or.

¬s and f artinya (¬s) and f , bukan ¬ (s and f)

Contoh:

p="Tadi malam hujan",

q="Tukang siram tanaman datang tadi malam,"

r="Pagi ini kebunya basah."

Terjemahkan proposisi berikut dalam bahasa Indonesia:

¬p = "Tadi malam tidak hujan."

r and ¬p = "Pagi ini kebunya basah dan tadi malam tidak hujan"

¬r v p ʌ q = 

"Pagi ini kebun tidak basah, atau tadi malam hujan, atau tukan siram tanaman datang tadi malam"

Operator Exclusive OR

Operator biner exclusive-or ⊕ menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika “exclusive or”-nya

p = “Saya akan mendapat nilai A di kuliah ini,”
q = “Saya akan drop kuliah ini,”

p ⊕ q = “Saya akan mendapat nilai A atau saya akan drop kuliah ini (tapi tidak dua-duanya!)”

Tabel Kebenaran XOR

Operator Implikasi

Implikasi p ® q menyatakan bahwa p mengimplikasikan q.
p disebut antecedent dan q disebut consequent
Jika p benar, maka q benar; tapi jika p tidak benar, maka q bisa benar - bisa tidak benar

Contoh :

p = Nilai ujian akhir anda 80 atau lebih
q = Anda mendapat nilai A

p ® q = “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda mendapat nilai A”

Implikasi p → q 

1. Jika p, maka q (if p, then q)
2. Jika p, q (if p, q)
3. p mengakibatkan q (p implies q)
4. q jika p (q if p)
5. p hanya jika q (p only if q)
6. p syarat cukup agar q (p is sufficent for q)
7. q syarat perlu bagi p (q is necessary for p)
8. q bilamana p (q whenever p)

Tabel Kebenaran Implikasi

Contoh Implikasi

• "Jika saya rajin kuliah hari ini, matahari akan bersinar esok hari " True / False ?
• "Jika hari ini Selasa, maka saya adalah seekor pinguin." True or False ?
• "Jika 1+1=6, maka SBY adalah Presiden." True / False ?
• "Jika bulan dibuat dari keju, maka saya lebih kaya dari Bill Gates." True or Flase ?

Terminologi dalam implikasi:

• Implikasi p ® q
• Converse q ® p
• Inverse ¬p ® ¬q
• Contrapositive ¬q ® ¬p

Biimplikasi

Operator biimplikasi « menyatakan bahwa p benar jika dan hanya jika q benar.
p="SBY menang pada pemilu 2004."
q="SBY akan menjadi presiden mulai tahun 2004."
p « q = Jika dan hanya jika SBY menang pada pemilu 2004 maka dia akan menjadi presiden mulai tahun 2004."

Biimplikasi

1. p jika dan hanya jika q; (p if and only if q)
2. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q; (p is necessary and sufficient for q)
3. Jika p maka q, dan sebaliknya; (if p then q, and conversely)
4. p jika q; (p if q)

Tabel kebenaran Biimplikasi adalah kebalikan dari Tabel Exclusive OR (⊕)

Nyatakan pernyataan berikut dalam ekspresi logika:
"Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu jika anda berusia di bawah 17 tahun kecuali kalau anda sudah menikah".

p=Anda berusia di bawah 17 tahun
q=Anda sudah menikah
r=Anda dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu.

maka pernyataan di atas dapat ditulis sebagai
( p ʌ ¬q ) → ¬r