Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi

Sebuah proposisi majemuk disebut Tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus. 

• Proposisi tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat T. 
• Proposisi kontradiksi dicirikan dengan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat F.
• Jika kolom terakhir memuat kumpulan dari T dan F disebut kontingen.

Contoh dari tautologi dan kontradiksi di tunjukan pada tabel kebenaran berikut ini:

a. p ∨ ¬p

p	v	~	p
T	T	F	T
F	T	T	F

b. (¬((¬p → r) ∨ (p → ¬q)) ∧ r)  

p	q	r	(¬((¬p → r) ∨ (p → ¬q)) ∧ r)
F	F	F	F
F	F	T	F
F	T	F	F
F	T	T	F
T	F	F	F
T	F	T	F
T	T	F	F
T	T	T	F

Tautologi

Perhatikan bahwa beberapa pernyataan selalu bernilai benar. Contoh pernyataan: “Warman masih bujang atau Warman bukan bujang” akan selalu bernilai benar tidak bergantung pada apakah Warman benar-benar masih bujang atau bukan bujang.

Jika p : Warman masih bujang, dan ~p : Warman bukan bujang, maka pernyataan diatas berbentuk p ∨ ~p. (coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran). Setiap pernyataan yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut tautologi.

Ekivalen

Perhatikan kalimat: “Guru pahlawan bangsa” dan “tidak benar bahwa guru bukan pahlawan bangsa”. Kedua kalimat ini akan mempunyai nilai kebenaran yang sama, tidak perduli bagaimana nilai kebenaran dari pernyataan semula. (Coba periksa dengan menggunakan tabel kebenaran).

Definisi: Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Pernyataan p ekivalen dengan pernyataan q dapat ditulis sebagai p ≡ q.

Berdasarkan definisi diatas, sifat-sifat pernyataan-pernyataan yang ekivalen (berekivalensi logis) adalah:

• p ≡ p
• jika p ≡ q maka q ≡ p
• jika p ≡ q dan q ≡ r maka p ≡ r
  

Sifat pertama berarti bahwa setiap pernyataan selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan dirinya sendiri. Sifat kedua berarti bahwa jika suatu pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan suatu pernyataan yang lain, maka tentu berlaku sebaliknya. Sedangkan sifat ketiga berarti bahwa jika pernyataan pertama mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan kedua dan pernyataan kedua mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan ketiga maka nilai kebenaran pernyataan pertama adalah sama dengan nilai kebenaran pernyataan ketiga.

Jika pernyataan tertentu p ekivalen dengan pernyataan q, maka pernyataan p dan q dapat saling ditukar dalam pembuktian. Ingat pada pernyataan “segi tiga sama sisi” yang ekivalen dengan “segi tiga yang sudutnya sama besar”. Dalam pembuktian pada geometri sering kali kita menggunakan kedua pernyataan itu dengan maksud yang sama.

Kontradiksi

Sekarang perhatikan kalimat : “Ajeung seorang mahasiswa dan bukan mahasiswa”. Pernyataan ini selalu bernilai salah, tidak tergantung pada nilai kebenaran dari “Ajeung seorang mahasiswa” maupun “Ajeung bukan mahasiswa”.

Jika r : Ajeung mahasiswa maka ~ r : Ajeung bukan mahasiswa maka pernyataan di atas berbentuk r ∧ ~ r (Coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran).

Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponen disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu bernilai salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi.