Logika Predikat

Logika Predikat adalah perluasan dari logika proposisi dimana objek yang dibicarakan dapat berupa anggota kelompok, Logika Proposisi menganggap proposisi sederhana (kalimat) sebagai entitas tunggal. Sebaliknya, logika predikat membedakan subjek dan predikat dalam sebuah kalimat.

Penerapan Logika Predikat

Merupakan notasi formal untuk menuliskan secara sempurna definisi, aksioma, teorema matematika dengan jelas, tepat dan tidak ambigu pada semua cabang matematika.

Logika Predikat dengan simbol-simbol fungsi, operator "=", dan beberapa aturan pembuktian cukup untuk mendefinisikan sistem matematika apapun, dan juga cukup untuk membuktikan apapun yang dapat dibuktikan pada sistem tersebut.

Penerapan Praktis

• Merupakan basis untuk mengekspresikan spesifikasi formal untuk sistem kompleks apapun dengan jelas
• Merupakan basis untuk automatic theorem provers dan sistem cerdas lainnya
• Didukung oleh beberapa database query engines canggih dan container class libraries.

Subyek dan Predikat

Pada kalimat "Kucing itu sedang tidur"

• frase "kucing itu" merupakan subjek kalimat
• frase "sedang tidur" merupakan predikat kalimat - suatu properti yang bernilai TRUE untuk si subjek (objek pelaku)
• dalam logika predikat, predikat dimodelkan sebagai sebuah fungsi P(.) dari objek ke proposisi.
• P(x) = "x sedang tidur" (x adalah sembarang objek).

Predikat

• Konvensi : variabel huruf kecil x, y, z...
  Menyatakan objek/entitas; variabel huruf besar P, Q, R... menyatakan fungsi proposisi (predikat)
• Perhatikan bahwa hasil dari menerapkan sebuah predikat P kepada objek x adalah sebuap proposisi P(x). Tapi predikat P sendiri (e.g. P="sedang tidur") bukan sebuah proposisi.
  Contoh: jika P(x) = "x adalah bilangan prima", 
  P(3) adalah proposisi "3 adalah bilangan prima."

Contoh: 

Diberikan predikat berikut: 

"Ada makhluk hidup yag bukan burung tetapi menderita flu burung."

Dengan mengambil himpunan semesta semua makhluk hidup, maka

1. lambangkan predikat di atas dengan menggunakan suku pengkuantifikasi khusus
2. tentukan negasi predikat di atas dengan menggunakan suku pengkuantifikasi umum dan tuliskan dalam kalimat verbal

Jawab:

Himpunan semesta S = { x | x makhluk hidup}

Misalkan B(x) : x burung, F(x) : x menderita flu burung. 

Predikat :

Negasi:

Dalam kalimat verbal:

• Semua makhluk hidup adalah burung atau ia tidak menderita flu burung.
• Semua makhluk hidup, jika ia bukan burung maka ia tidak menderita flu burung.
• Semua makhluk hidup, jika ia menderita flu burung maka ia burung.

Fungsi Proposisi

Logika predikat dapat digeneralisir untuk menyataan fungsi proposisi dengan banyak argumen.
Contoh: Misalkan P(x,y,z) = "x memberikan pada y nilai z", maka jika x="Ahmad", y="Dian", z="B", maka P(x,y,z)="Ahmad memberi Dian nilai B."

Proposisi dan Fungsi

Fungsi proposisi (kalimat terbuka):
Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau lebih 
Contoh: x -3 >5
Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(x) dimana P adalah predikat dan x adalah variabel.

• Apakah nilai kebenaran dari P(2) ? Salah
• Apakah nilai kebenaran dari P(8) ? Salah
• Apakah nilai kebenaran dari P(9) ? Benar

Fungsi Proposisi

Tinjau fungsi proposisi Q(x,y,z) yang didefinisikan:

x + y = z

Disini, Q adalah predikat dan x, y, dan z adalah variabel.

• Apakah nilai kebenaran dari Q(2,3,5) ? Benar
• Apakah nilai kebenaran dari Q(0,1,2) ? Salah
• Apakah nilai kebenaran dari Q(9,-9,0) ? Benar

Semesta Pembicaraan

• Salah satu kelebihan predikat adalah bahwa predikat memungkinkan kita untuk menyatakan sesuatu tentang banyak objek pada satu kalimat saja.
• Contoh, misalkan P(x)="x+1>x". Kita dapat menyatakan bahwa "Untuk sembarang angka x, P(x) bernilai TRUE" hanya dengan satu kalimat daripada harus menyatakan satu-persatu:
• Kumpulan nilai yang bisa dimiliki variabel x disebut semesta pembicaraan untuk x (x's universe of discourse)

Ekspresi Quantifier

Quantifier merupakan notasi yang memungkinkan kita untuk mengkuantifikasi (menghitung) seberapa banyak objek di semesta pembicaraan yang memenuhi suatu predikat.

• " ∀" berarti FOR∀LL (semua) atau universal quantifier. ∀x P(x) berarti untuk semua x di semesta pembicaraan,P berlaku.
• "∃" berarti ∃XISTS (terdapat) atau existential quantifier.∃x P(x) berarti terdapat x di semesta pembicaraan. (bisa1 atau lebih) dimana P(x) berlaku.

Predikat dan Kuantifier

Pernyataan “x > 3” punya 2 bagian, yakni “x” sebagai subjek dan “ adalah lebih besar 3” sebagai predikat P.

Kita dpt simbolkan pernyataan “x > 3” dengan P(x). 

Sehingga kita dapat mengevaluasi nilai kebenaran dari P(4) dan P(1).

Subyek dari suatu pernyataan dapat berjumlah lebih dari satu.
Misalkan Q(x,y): x - 2y > x + y

Kuantifikasi Universtal ∀

Misal P(x) suatu fungsi proposisi.

Kalimat yang dikuantifikasi secara universal: 

Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x) adalah benar.

Dengan kuantifier universal ∀:

∀xP(x) "untuk semua x P(x)" atau "untuk setiap x P(x)"

Catatan: ∀xP(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, bukan fungsi proposisi).

Contoh:

S(x) : x adalah seorang mahasiswa IT

G(x) : x adalah seorang yang pandai

Jelaskan arti dari ∀x(S(x)→G(x) ?

Jawab:

"Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah seorang yang pandai", atau

"Semua mahasiswa IT pandai."

Contoh:

Misalkan semesta pembicaraan x adalah tempat parkir di Kampus.

Misalkan P(x) adalah predikat "x sudah ditempati."

Maka universal quantification untuk P(x), ∀xP(x) adalah proposisi:

"Semua tempat parkir di Kampus sudah ditempati", atau

"Setiap tempat parkit di Kampus sudah ditempati."