Pernyataan pada Logika Matematika

Daftar Isi

1. Kalimat.
2. Pernyataan.
3. Proposisi.
4. Variabel dan Konstanta
5. Kalimat Terbuka.

Kalimat.

Sebelum membahas tentang pernyataan, akan kita bahas terlebih dahulu apa yang disebut kalimat.  Kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa. Kata adalah rangkaian huruf yang mengandung arti. Kalimat berarti rangkaian kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat berarti yang menerangkan (kalimat deklaratif/indicative sentences). 

Contoh :

• 4 kurang dari 5 
• Indonesia terdiri atas 33 provinsi 
• 2 adalah bilangan prima yang genap 
• 3 adalah bilangan genap 

dan tidak akan dibicarakan kalimat-kalimat seperti : 

• Berapa umurmu ? (Kalimat (Kalimat tanya) 
• Bersihkan tempat tidurmu ! (Kalimat perintah) 
• Sejuk benar udara di sini ! (Kalimat ungkapan perasaan) 
• Mudah-mudahan terkabul cita-citamu. (Kalimat pengharapan) 

Dari contoh-contoh di atas, terlihat bahwa kalimat 1, 2, dan 3, bernilai benar, sedang kalimat 4 bernilai salah. Kalimat 5, 7, dan 8, tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. 

Nilai benar artinya ada kesesuaian antara yang dinyatakan oleh kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya (realitas yang dinyatakannya), yaitu benar dalam arti matematis.

Pernyataan.

Definisi : Suatu pernyataan (statement) adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Contoh : Kalimat 1, 2, 3, dan 4 

Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu.

Seperti telah kita ketahui, menurut jenisnya suatu kalimat secara sederhana dapat dibagi seperti di bawah ini

Kalimat

• Kalimat berarti
• Kalimat Deklaratif
• bernilai benar
• bernilai salah
• Bukan Kalimat Deklaratif
• Kalimat tak berarti

Bukan pernyataan (bukan kalimat deklaratif)

Contohnya : 

• Berapa umurmu ? (Kalimat (Kalimat tanya) 
• Bersihkan tempat tidurmu ! (Kalimat perintah) 
• Sejuk benar udara di sini ! (Kalimat ungkapan perasaan) 
• Mudah-mudahan terkabul cita-citamu. (Kalimat pengharapan) 

Sedang kalimat tak berarti contohnya : 

• Batu makan rumput
• 3 melempari 5

Proposisi.

Proposisi adalah pernyataan, sebaliknya suatu pernyataan belum tentu merupakan proposisi. 

Suharto adalah presiden kita dengan Suharto is our presiden adalah dua kalimat yang berbeda, tetapi mempunyai arti yang sama. 

Sehingga dikatakan bahwa kedua kalimat itu merupakan proposisi yang sama. Kalimat Kalimat berarti Kalimat tak berarti Kalimat Deklaratif Bukan Kalimat Deklaratif bernilai benar bernilai salah sebagai pernyataan.

Kalimat 

• 4 kurang dari 5 
• Indonesia terdiri atas 33 provinsi 
• 3 adalah bilangan genap 

Disebut pernyataan sederhana (simple statement), yaitu pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tidak mengandung kata hubung kalimat. 

• 2 adalah bilangan prima yang genap 

Adalah pernyataan majemuk (composite/compound statement), yang terdiri atas satu atau lebih pernyataan sederhana dengan bermacam-macam kata hubung kalimat (connective/perangkai). 

Sedang pernyataan sederhana disebut juga pernyataan primer atau pernyataan atom. 

Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari setiap pernyataan sederhana yang dikandungnya dan cara menghubungkan pernyataan-pernyataan sederhana itu, dan bukan oleh keterkaitan isi pernyataan-pernyataan sederhana tersebut. 

Suatu pernyataan umum disimbolkan dengan huruf abjad kecil, misalnya p, q, r, … dan seterusnya, sedang nilai benar disimbolkan dengan “B” atau “1 (satu)” dan nilai salah disimbolkan dengan “S” atau “0 (nol)”.

Contoh :

p : Ada 12 bulan dalam setahun (B)

q : 4 + 5 = 8 (S)

Variabel dan Konstanta

• Variabel adalah simbol yang menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan.
• Konstanta adalah simbol yang menunjukkan anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan.

Perhatikan kalimat berikut ini:

1. Manusia makan nasi.
2. ... memakai sepatu.
3. 4 + x = 7
4. 4 + ... = 7
5. p < 5

Ada yang mengatakan bahwa kalimat 1 benar, tetapi ada juga yang mengatakan bahwa kalimat itu salah, tergantung pada kesesuaian kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya. Kalimat seperti ini disebut pernyataan faktual. Ada juga yang mengatakan bahwa kelima kalimat di atas belum dapat dikatakan mempunyai nilai. Seperti telah kita ketahui, nilai benar maupun nilai salah sebuah kalimat (baik kalimat sehari-hari maupun kalimat matematika), ditentukan oleh kebenaran atau ketidakbenaran realita yang dinyatakan.

• Jika kata “manusia” dalam kalimat 1 diganti “Akbar”, maka kalimat menjadi “Akbar makan nasi”. Kalimat ini jelas bernilai salah saja atau bernilai benar saja; tergantung realitasnya. Kalimat ini disebut pernyataan faktual. Demikian pula jika “. . .” pada kalimat 2 diganti “Laura”, maka kalimat ini menjadi “Laura memakai sepatu”. Kalimat (pernyataan) itupun menjadi jelas nilainya, yaitu salah saja atau benar saja, tergantung realitanya.
• Jika “x” pada kalimat 3 diganti “3” maka kalimat itu menjadi “4 + 3 = 7”. Kalimat (pernyataan) ini jelas bernilai benar saja. Jika “. . .” pada kalimat 4 diganti “4”, maka kalimat itu menjadi “4 + 4 = 7”. Jelas pernyataan itu bernilai salah saja. 
• Jika “p” pada kailmat 5 diganti “0, 1, 2, 3, 4”, maka pernyataan “p < 5” menjadi bernilai benar, tetapi kalimat (pernyataan) itu menjadi bernilai salah apabila “p” pada kalimat 5 diganti "5, 6, 7, . . ." dalam semesta pembicaraan himpunan bilangan cacah. 

“Manusia”, “. . .”, “x”, “p” pada kalimat-kalimat di atas disebut variabel. Sedangkan pengganti-pengganti seperti “Akbar”, “Laura”, “3”, “4”, dan “0, 1, 2, 3, 4” dan "5, 6, 7, . . ." disebut konstanta.

Kalimat Terbuka.

Kalimat-kalimat seperti 1 sampai dengan 5 di atas disebut kalimat terbuka. Jika variable dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai, maka kalimat yang terjadi dapat disebut kalimat tertutup.

Definisi : Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja (pernyataan).

Kalimat terbuka seperti 3, 4, dan 5, disebut kalimat matematika (ada yang menyebut kalimat bilangan). Kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda “=” seperti kalimat c dan d disebut persamaan. Kalimat 5 yang menggunakan tanda “<” disebut pertidaksamaan (sebutan ini juga berlaku untuk kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda ”>” atau “≠”

Jika variabel pada kalimat matematika itu sudah diganti dengan konstanta dan kalimat matematika itu menggunakan tanda “=” maka kalimat yang terjadi disebut kesamaan. Sedang kalimat matematika yang tidak mengandung variabel dan menggunakan tanda “<”, “>” atau “≠” disebut ketidaksamaan. Di atas telah diberikan definisi-definisi dari pernyataan, variabel, konstanta, dan kalimat terbuka. Pernyataan yang menjelaskan istilah-istilah di atas disebut kalimat definisi. Pada kalimat definisi tidak boleh terdapat kata-kata yang belum jelas artinya, apalagi kata yang sedang didefinisikan.